O surgimento do número áureo
Segundo Kepler, a geometria possui dois tesouros, um é o Teorema de Pitágoras, e o outro é a divisão de um segmento em média e extrema razão. Esta matemática teria influenciado nos cálculos das obras e referências mais perfeitas da humanidade.
A matemática responde pelo perfeccionismo das pinturas renascentista, pelas obras arquitetônicas da Antiguidade e até pelas conchas presentes nos seres marinhos. Há mais de 2.500 anos iniciou-se através da Razão Áurea, os estudos a respeito da harmonia simétrica em dividir um segmento em duas partes.
O Renascimento teria se inspirado no número “Phi” ( letra grega: Φ ), que na matemática pitagórica equivale à proporção de 1618:1.
Esta visão matemática de proporção foi muito perseguida naquela época.
Desde os tempos da Grécia antiga, defendia-se que todo o mundo e cosmo era composto pelos quatro elementos da natureza : ar, água, terra e fogo, que seriam similares aos quatro sólidos geométricos perfeitos determinados pela sociedade pitagórica.
Os quatro sólidos geométricos perfeitos eram : tetraedro, hexaedro, octaedro e icosaedro.
A razão áurea era relacionada à união das diagonais do pentágono, pertencente ao estudo da geometria do Pentagrama.
O pentagrama, no decorrer da história da humanidade serviu de símbolo da religiosidade cristã e posteriormente para a cultura neopagã.
Amantes da cultura pagã, Michelangelo e Leonardo Da Vinci, utilizaram desta proporção em suas obras. Da Vinci dissecava cadáveres e media a proporção de seus corpos para identificar que o corpo humano é uma das únicas substâncias naturais que obedeciam a “Divina Proporção” – como pode ser visto em sua obra conhecida como O Homem Vitruviano.
Na sequência de fibonacci, a razão entre o maior e menor de dois números subsequentes tende a se aproximar da proporção áurea.
Várias são as versões a respeito do surgimento do número áureo. Uma delas afirma que esse número surgiu por acaso, quando o matemático grego Euclides (370 a.C. a 275 a.C.) tentava descobrir a melhor maneira de dividir um segmento de reta em dois segmentos não-congruentes, isto é, de medidas diferentes.
Depois de várias tentativas, Euclides encontrou uma divisão, que classificou como a mais harmônica:
Um segmento de reta AB foi dividido em duas partes AC e CB, de modo que:
(AB está para AC assim como AC está para CB – proporção áurea)
O valor encontrado para as razões:
é o número irracional 1,618033989…, que é usado, geralmente, com apenas três casas decimais : 1,618 (número áureo ou razão áurea).
Posteriormente atribuiu-se ao número áureo a letra grega Φ (fi) em homenagem a Fídias, o famoso arquiteto e escultor grego, que utilizava a razão áurea em suas obras.
No Paternon – sua obra mais célebre – a razão áurea aparece em destaque no retângulo, chamado de retângulo áureo, pois dividindo-se a medida do seu comprimento pela medida de sua largura encontra-se o número FI (Φ = 1,618).
Paternon – obra de Fídias
O número áureo pode ser obtido algebricamente.
Clique no link abaixo e acompanhe essa demonstração.
Demonstração
O número FI
maio 1, 2008 — Sandra Di Flora
A razão áurea é um dos assuntos – em Matemática – que mais me chama a atenção. Sempre que tenho oportunidade pesquiso, na rede, artigos ou curiosidades sobre o assunto. O texto e a imagem abaixo, por exemplo, foram retirados da revista Veja-out/2006, da qual sou assinante.
A matéria do referido semanário é, na verdade, a divulgação do livro do astrofísico israelense Mario Livio “Razão Áurea”, da editora Record.
Pretendo postar outras informações a respeito da razão áurea, sem a preocupação de ordenar ou classificar por ordem de importância, mas de acordo com as minhas descobertas.
Boa leitura!
(…)A Matemática não se resume a propriedades, fórmulas e regras. Existem alguns números especiais que são tão onipresentes, que nunca deixam de nos surpreender. O mais famoso deles é o número Pi (π), que é a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro.
O valor de Pi, 3,14159…, tem fascinado muitas gerações de matemáticos. Embora tenha sido originalmente definido na geometria, o Pi aparece muito freqüente e inesperadamente no cálculo de probabilidades.
Menos conhecido que o Pi é um outro número, o Fi (Φ), que, em muitos aspectos, é ainda mais fascinante. Suponha que eu lhe pergunte: o que o encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro “O Sacramento da Última Ceia”, de Salvador Dalí, as magníficas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos têm em comum?
É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum certo número, ou proporção geométrica, conhecido desde a Antiguidade, um número que no século XIX recebeu o título honorífico de “Número Áureo”, “Razão Áurea” e “Seção Áurea”. Um livro publicado na Itália no começo do século XVI chegou a chamar essa razão de “Proporção Divina”.O valor exato da Razão Áurea é o número que nunca termina e nunca se repete 1,6180339887…, e esses números que nunca terminam têm intrigado os homens desde a Antiguidade.
Diz uma história que quando o matemático grego Hipasos de Metaponto descobriu, no século V a.C., que a Razão Áurea é um número que não é nem inteiro (como os familiares 1, 2, 3…) nem razão de dois números inteiros como as frações 1/2, 2/3, 3/4,…, (conhecidos coletivamente como números racionais),isso deixou totalmente chocados os outros seguidores do famoso matemático Pitágoras (os pitagóricos).
A visão de mundo dos pitagóricos era baseada numa admiração extrema pelos arithmos — as propriedades intrínsecas dos números inteiros ou suas razões — e seu suposto papel no Cosmo. A descoberta de que existiam números como a Razão Áurea que continuam para sempre sem exibir qualquer repetição ou padrão causou uma verdadeira crise filosófica.
Reza a lenda que, aturdidos com a estupenda descoberta, os pitagóricos sacrificaram, apavorados, cem bois, embora isso pareça ser bastante improvável, já que os pitagóricos eram estritamente vegetarianos. A data exata da descoberta de números que não são inteiros nem frações, conhecidos como números irracionais, não é conhecida com grau algum de certeza.
O que é claro é que os pitagóricos basicamente acreditavam que a existência de tais números era tão horrível que devia (a existência) representar algum tipo de erro cósmico, algo que deveria ser suprimido e guardado em segredo.
Mas por que tanto alvoroço em torno disso? O que faz desse número, ou proporção geométrica, algo tão interessante que deva merecer toda essa atenção?
A atratividade do “Número Áureo” origina-se, antes de tudo, do fato de que ele tem um jeito quase sobrenatural de surgir onde menos se espera.(…)
Fontes:
http://www.famat.ufu.br/eventos/semat6/docs
http://www.chabad.org.br/BIBLIOTECA/artigos/divina/home.html
“Labor omnia vincit”, um lema para inspirar a perseverança e a determinação, enfatizando que o trabalho árduo e a dedicação superam quaisquer obstáculos.
MM (GLEMS), Inspetor Geral da Ordem (REAA), Servidor da Pátria e da Humanidade (Rito Brasileiro), MR e ME (Rito York).
O grau não faz o homem; o homem é que deve fazer-se digno do grau.
Um avental bordado, uma joia reluzente ou um título pomposo nada significam se não estiverem apoiados sobre a solidez do caráter.
No fim, a única elevação que realmente importa é a da nossa própria alma.
2 Comentários
A Razão Áurea representa a mais agradável proporção entre dois segmentos ou duas medidas, é uma procura constante da harmonia e da beleza que leva Piet Mondrian a encontrar a matemática. Mondrian descobriu o famoso número de ouro e com ele chegou ao retângulo de ouro. Partilhou com Da Vinci a idéia de que a arte deveria ser sinônimo de beleza e movimento contínuo, por isso ambos utilizaram o retângulo de ouro. A razão de ouro exprime movimento, pois mantém-se em espiral até ao infinito, e o retângulo de ouro exprime a beleza, pois é uma forma geométrica agradável à vista. Assim, o retângulo de ouro passou a ser presença constante em suas pinturas.
Perfeição e harmonia
O número de ouro é um valor numérico aproximado de 1,618. Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia.
O número de ouro é exatamente (1+raiz quadrada(5))/2, que aproximadamente é 1,618033988749894848204…
O número de ouro é considerado como sendo a “proporção divina” e foi utilizado ao longo da história, em variados contextos:
Na Grande Pirâmide de Gizé, construída pelos egípcios, o quociente entre a altura de uma face pela metade do lado da base é quase 1,618;
A Fídias atribui-se a construção do Partenon Grego em Atenas, templo representativo do século de Péricles, usando o Retângulo de Ouro (a razão entre o comprimento e a largura é o número de ouro) na sua base e fachada;
Euclides, no seu livro “Os Elementos”, utilizou o número de ouro para construir o primeiro pentágono regular e os dois sólidos regulares mais complexos, o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares);
Os Pitagóricos usaram também a seção de ouro na construção da estrela pentagonal;
A contribuição de Fibonacci ou Leonardo de Pisa para o número de ouro está relacionada com a solução do problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, que deu origem à seqüência de números de Fibonacci: as sucessivas razões entre um número e o que o antecede vão-se aproximando do número de ouro;
Frei Luca Pacioli publicou em 1509 um livro com o titulo de “De Divina Proportione”, com ilustrações de sólidos platônicos realizados pelo seu amigo Leonardo Da Vinci, no qual relaciona o número de ouro polígonos regulares e sólidos platônicos;
Kepler baseou a sua teoria cósmica nos cinco sólidos platônicos e na sua relação com o número de ouro;
Le Corbusier (arquiteto francês) e Salvador Dali são dois dos muitos artistas que utilizam o número de ouro nas suas obras.
O número é também utilizado para desenhar espirais semelhantes às que encontramos na Natureza, por exemplo, no centro dos girassóis, nas pinhas e nos moluscos.
Na atualidade algumas construções, como por exemplo, o edifício das Nações Unidas, em Nova Iorque, e até objetos do dia a dia, como, por exemplo, o cartão de crédito, estão ligados ao retângulo de ouro e desta forma estão ligados ao número de ouro.
Retângulo de ouro
Se desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados maior e menor é igual ao número de ouro obtemos um retângulo de ouro.
O retângulo de ouro é um objeto matemático que marca forte presença no domínio das artes, nomeadamente na arquitetura, na pintura, e até na publicidade. Este fato não é uma simples coincidência já que muitos testes psicológicos demonstraram que o retângulo de ouro é de todos os retângulos o mais agradável à vista.